横浜遊学記



88:今日の1題

e0026795_17392477.jpg火曜日は塾講師。中学受験の経験がない僕にとっては算数はほんとに新鮮な科目で、予習してると思わず「へぇー!」と声を上げてしまうような考え方に出会うこともしばしばあります。

中学からXとYを使った方程式に慣れてしまって、文字と数字だけを組み合わせて答えにたどり着く不自由さを楽しむという行為が、中学の時に「ハムストリングス(体の裏の筋肉)を意識して走れ!」といわれたときに感じたぎこちなさ(どこに力入れんのさ?!…的な)を思い出させる感じです。

ということで、今日ほーっと思った一問を紹介しようかと。

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(問)

1から50までの50個の整数があります。これらの整数を全部かけたときにできる整数には左から数えて(   )個の0が並びます。

*出典/渋谷教育学園渋谷中学校平成15年度第1回入試問題より

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僕が最初に考えたのは、1×2×3×4×5…×9×10=3628800という計算値を利用して、11からの20までの数列、21から30までの数列…と順番に適応していけばいいんじゃないかというもの。21=10+11というように分解して、分配法則を使えばでるんじゃないかなーと思ったのですが、1から50までを地道に掛け算して出す手間と対して変わらないことに気づいて頓挫。

恥ずかしながら10分考えても答えが出ないので解説を拝見。すると、ありました。ちょー簡単に答えがでる方法が。自分で解法を思いついたときの快感に比べれば劣るけど、その考え方に納得して自分のものに出来たときもやっぱり嬉しいものですね。ブログみてらっしゃるかたの中にはきっと簡単に解法を思いついた方もいらっしゃるかと。昔取った杵柄じゃないですけど、合理的な考え方が出来る人って、昔算数が得意だったって人が多い気がするんですが。以下、簡単に解説です。

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(解)

0が並ぶ個数=素数分解したときに10が入ってる個数と解釈します。だとすれば、10=2×5なので、2の倍数と5の倍数の数がそのまま並ぶ0の数になりますね。

1から50の整数の中にある2の倍数は 50÷2=25 5の倍数は 50÷5=10 加えて、5の倍数の中でも25と50はそれぞれ 25=5×5 で5の倍数を二つ含んでいますし、50=5×5×2 でこちらも5の倍数を二つ含んでいます。よって、1から50までの整数の中に含まれる2と5それぞれの倍数の数は 25個 と 10+2=12 で 12個となりますね。

10という数を一つつくる(積である整数のお尻に0を一つ並ばせる)ためには、2と5がそれぞれ一つずついりますね。なので、いくら2の倍数があっても、ペアとなる5の倍数の数が同じだけなければ10は生まれません。よって、2の倍数と5の倍数の数のうち、少ないほうの数に制限されてしまうわけです。つまり、1から50までの整数をかけたときにおしりに並ぶ0の数(積となる整数の中に含まれる10の数)は5の倍数の個数である 12 となります。

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こうやって書いてると簡単ですねー。でも、やっぱり入試っていう緊張する場面で適切なパターンや考え方をさっと時間内に思いつくかどうかとなるとみんながみんな出来るわけじゃないですよね。

算数のトレーニング、ボケ防止にもオススメです。
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by yokohama-yugakuki | 2005-11-24 11:00 | ⑤Study
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